فعالیت ۱ نمودار و نقاط وارون تابع نمایی حسابان یازدهم
با توجه به نمودار تابع $f(x) = ۳^x$ نمودار تابع $f^{-۱}$ را رسم کنید و جدول زیر را کامل کنید.
| $f(-۲) = ۳^{-۲} = \frac{۱}{۹}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\frac{۱}{۹}) = -۲$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $f(-۱) = \dots$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\dots) = -۱$ |
| $f(۰) = \dots$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\dots) = ۰$ |
| $f(۱) = \dots$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\dots) = ۱$ |
| $f(\frac{۳}{۲}) = \dots$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\dots) = \frac{۳}{۲}$ |
| $f(۲) = \dots$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\dots) = ۲$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۸۱ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **تابع وارون** و رابطه آن با تابع اصلی را برای تابع نمایی $\mathbf{f(x) = ۳^x}$ نشان میدهد. نمودار تابع وارون **$f^{-۱}$**، از **قرینه کردن** نمودار $f$ نسبت به خط $\mathbf{y=x}$ به دست میآید. 🔄
### ۱. رسم نمودار $f^{-۱}$
نمودار $f(x) = ۳^x$ (تابع نمایی صعودی) و خط $\mathbf{y=x}$ (خطچین) در شکل داده شدهاند. نمودار $\mathbf{f^{-۱}}$ (که همان تابع لگاریتمی $\log_۳ x$ است) با قرینه کردن نقاط $f$ نسبت به خط $y=x$ رسم میشود.
### ۲. تکمیل جدول (نقاط وارون)
رابطه کلیدی این است: **اگر $(a, b) \in f$ باشد، آنگاه $(b, a) \in f^{-۱}$ است.**
| $f(x) = ۳^x$ | نتیجه | $f^{-۱}(y) = x$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $f(-۲) = ۳^{-۲} = \frac{۱}{۹}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\frac{۱}{۹}) = -۲$ |
| $f(-۱) = ۳^{-۱} = \mathbf{\frac{۱}{۳}}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\mathbf{\frac{۱}{۳}}) = -۱$ |
| $f(۰) = ۳^{۰} = \mathbf{۱}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\mathbf{۱}) = ۰$ |
| $f(۱) = ۳^{۱} = \mathbf{۳}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\mathbf{۳}) = ۱$ |
| $f(\frac{۳}{۲}) = ۳^{\frac{۳}{۲}} = \mathbf{\sqrt{۲۷}}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\mathbf{\sqrt{۲۷}}) = \frac{۳}{۲}$ |
| $f(۲) = ۳^{۲} = \mathbf{۹}$ | $\implies$ | $f^{-۱}(\mathbf{۹}) = ۲$ |
**نکته**: نقاط $(\mathbf{۰}, \mathbf{۱})$ روی $f$ و $(athbf{۱}, \mathbf{۰})$ روی $f^{-۱}$ قرار دارند.
فعالیت ۲ گزارههای تابع نمایی و وارون آن حسابان یازدهم
گزینه درست را با $\checkmark$ و گزینه غلط را با $\times$ علامت بزنید.
- نقطه $(\frac{۱}{۹}, -۲)$ روی نمودار $f$ قرار دارد.
- نقطه $(\frac{۱}{۳}, -۱)$ روی نمودار $f^{-۱}$ قرار دارد.
- نقطه $(۰, ۱)$ روی نمودار $f$ قرار دارد.
- نقطه $(\frac{۱}{۹}, -۲)$ روی نمودار $f^{-۱}$ قرار دارد.
- تابع $f^{-۱}$ یک به یک است.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۸۱ حسابان یازدهم
برای تعیین درستی یا نادرستی گزارهها، از ضابطه تابع اصلی $\mathbf{f(x) = ۳^x}$ و تعریف تابع وارون $\mathbf{f^{-۱}}$ (که زوج مرتبها را معکوس میکند) استفاده میکنیم.
---
### ۱. نقطه $(\frac{۱}{۹}, -۲)$ روی نمودار $f$ قرار دارد.
* **بررسی**: اگر $x = \frac{۱}{۹}$ باشد، $f(\frac{۱}{۹}) = ۳^{\frac{۱}{۹}}$. آیا $f(\frac{۱}{۹}) = -۲$؟ خیر، $۳^{\frac{۱}{۹}}$ مثبت است.
* **نتیجه**: $\mathbf{\times}$
---
### ۲. نقطه $(\frac{۱}{۳}, -۱)$ روی نمودار $f^{-۱}$ قرار دارد.
* **بررسی**: اگر $(b, a) \in f^{-۱}$ باشد، آنگاه $(a, b) \in f$.
* باید بررسی کنیم که آیا نقطه $( -۱, \frac{۱}{۳})$ روی $f$ قرار دارد؟
* $f(-۱) = ۳^{-۱} = \frac{۱}{۳}$. $\mathbf{f(-۱) = \frac{۱}{۳}}$ درست است.
* **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$
---
### ۳. نقطه $(۰, ۱)$ روی نمودار $f$ قرار دارد.
* **بررسی**: $x=۰$. $f(۰) = ۳^۰ = ۱$.
* **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$
---
### ۴. نقطه $(\frac{۱}{۹}, -۲)$ روی نمودار $f^{-۱}$ قرار دارد.
* **بررسی**: اگر $(b, a) \in f^{-۱}$ باشد، آنگاه $(a, b) \in f$.
* باید بررسی کنیم که آیا نقطه $(-۲, \frac{۱}{۹})$ روی $f$ قرار دارد؟
* $f(-۲) = ۳^{-۲} = \frac{۱}{۹}$. $\mathbf{f(-۲) = \frac{۱}{۹}}$ درست است.
* **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$
---
### ۵. تابع $f^{-۱}$ یک به یک است.
* **بررسی**: وارون هر تابع یک به یک (مانند $f(x) = ۳^x$)، **خودش نیز یک تابع یک به یک است**.
* **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$
